Krivka Brachistochrone: 18 krokov (s obrázkami)

2024 Autor: John Day | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-30 11:57

Brachistochronová krivka je klasický fyzikálny problém, ktorý odvodzuje najrýchlejšiu cestu medzi dvoma bodmi A a B, ktoré sa nachádzajú v rôznych nadmorských výškach. Aj keď sa tento problém môže zdať jednoduchý, ponúka neintuitívny výsledok, a preto je fascinujúce sledovať ho. V tomto návode sa naučíte teoretický problém, vyviniete riešenie a nakoniec zostavíte model, ktorý demonštruje vlastnosti tohto úžasného princípu fyziky.

Tento projekt je určený študentom stredných škôl, aby sa počas vyučovania teórie venovali príbuzným pojmom. Tento praktický projekt nielenže posilňuje ich porozumenie téme, ale ponúka aj syntézu niekoľkých ďalších oblastí, ktoré je potrebné rozvíjať. Napríklad pri stavbe modelu sa študenti dozvedia o optike prostredníctvom Snellovho zákona, počítačového programovania, 3D modelovania, digitálnej frakcie a základných zručností pri práci s drevom. To umožňuje celej triede prispieť k rozdeleniu práce medzi seba, čo z nej robí tímové úsilie. Čas potrebný na vypracovanie tohto projektu je približne týždeň a potom ho možno predviesť pred triedou alebo mladším študentom.

Neexistuje lepší spôsob, ako sa učiť, ako prostredníctvom STEM, takže si pokračujte a vytvorte si vlastný pracovný model brachistochrone. Ak sa vám projekt páči, hlasujte zaň v triednej súťaži.

Krok 1: Teoretický problém

Problém s brachistochrone je ten, ktorý sa točí okolo nájdenia krivky, ktorá spája dva body A a B, ktoré sú v rôznych nadmorských výškach, takže B nie je priamo pod A, takže zhodenie mramoru pod vplyvom rovnomerného gravitačného poľa pozdĺž tejto cesty spôsobí dosiahnuť B v najrýchlejšom možnom čase. Problém predstavil Johann Bernoulli v roku 1696.

Keď sa Johann Bernoulli v júni 1696 pýtal na problém brachistochrony čitateľom časopisu Acta Eruditorum, ktorý bol jedným z prvých vedeckých časopisov nemecky hovoriacich krajín Európy, dostal odpovede od 5 matematikov: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus a Guillaume de l'Hôpital, z ktorých každý má jedinečný prístup!

Upozornenie: Nasledujúce kroky obsahujú odpoveď a odhalia krásu tejto najrýchlejšej cesty. Nájdite si chvíľu času a zamyslite sa nad týmto problémom, možno ho prelomíte rovnako ako jeden z týchto piatich géniov.

Krok 2: Použitie Snellovho zákona na ukážku

Jeden z prístupov k riešeniu problému s brachistochrone je vyriešiť problém načrtnutím analógií so Snellovým zákonom. Snellov zákon sa používa na opis cesty, ktorou by sa svetelný lúč dostal, aby sa dostal z jedného bodu do druhého pri prechode dvoma rôznymi médiami, pričom sa používa Fermatov princíp, ktorý hovorí, že lúč svetla sa vždy vyberie najrýchlejšou cestou. Formálne odvodenie tejto rovnice nájdete na nasledujúcom odkaze.

Pretože voľne padajúci predmet pod vplyvom gravitačného poľa možno porovnať so svetelným lúčom prechádzajúcim meniacim sa médiom, vždy, keď sa lúč svetla stretne s novým médiom, sa lúč mierne odchýli. Uhol tejto odchýlky je možné vypočítať pomocou Snellovho zákona. Ako jeden pokračuje v pridávaní vrstiev redukujúcich hustôt pred vybočený lúč svetla, až kým lúč nedosiahne kritický uhol, kde sa lúč jednoducho odrazí, trajektória lúča opisuje brachistochrónovú krivku. (červená krivka na obrázku vyššie)

Brachistochronová krivka je v skutočnosti cykloid, čo je krivka vysledovaná bodom na ráfiku kruhového kolesa, keď sa koleso valí po priamke bez skĺznutia. Ak teda potrebujeme nakresliť krivku, môžeme ju jednoducho vytvoriť pomocou vyššie uvedenej metódy. Ďalšou unikátnou vlastnosťou krivky je, že guličke uvoľnenej z akéhokoľvek bodu krivky bude trvať presne rovnaký čas, kým sa dostane dnu. Nasledujúce kroky opisujú proces vykonania experimentu v triede vytvorením modelu.

Krok 3: Praktický experimentálny model

Model pozostáva z laserom rezaných dráh, ktoré pôsobia ako stopy pre guličky. Aby sme ukázali, že brachistochrónová krivka je najrýchlejšou cestou z bodu A do B, rozhodli sme sa ju porovnať s dvoma ďalšími cestami. Keďže veľa ľudí intuitívne cíti, že najkratšia časť je najrýchlejšia, rozhodli sme sa ako druhú cestu zaradiť rovný svah spájajúci oba body. Tretí je strmá zákruta, pretože by človek cítil, že náhly pokles vygeneruje dostatočnú rýchlosť na to, aby porazil zvyšok.

Druhý experiment, pri ktorom sa guľôčky uvoľňujú z rôznych výšok na troch dráhach brachistochrónu, prebieha súčasne. Náš model teda obsahuje 3D tlačené príručky, ktoré poskytujú ľahkú zameniteľnosť medzi akrylovými panelmi a umožňujú vykonávať obidva experimenty.

Nakoniec uvoľňovací mechanizmus zaisťuje, že loptičky padajú k sebe a časový modul v spodnej časti zaznamenáva načasovanie, keď sa guľky dostanú dnu. Aby sme to dosiahli, máme vstavané tri koncové spínače, ktoré sa aktivujú, keď to gule spustia.

Poznámka: Tento dizajn je možné jednoducho skopírovať a vyrobiť z kartónu alebo iného ľahko dostupného materiálu

Krok 4: Potrebný materiál

Tu sú diely a zásoby na vytvorenie pracovného modelu experimentu s brachistochrónom

HARDWARE:

1 palcová doska z borovicového dreva - rozmery; 100 cm x 10 cm

Neodym Magnetx 4 - rozmery; Priemer 1 cm a výška 0,5 cm

Vlákno pre 3D tlač- PLA alebo ABS sú v poriadku

Závitová vložka M3 x 8 - (voliteľné)

Skrutka M3 x 8 - 2,5 cm dlhá

Skrutka do dreva x 3 - 6 cm dlhá

Skrutka do dreva dlhá 12 - 2,5 cm

ELEKTRONIKA:

Arduino Uno

Limit Switchx 4- tieto prepínače budú fungovať ako systém časovania

Tlačidlo

Displej LCD

Jumpwire x many

Celkové náklady na model sa pohybovali okolo 3 0 $

Krok 5: 3D tlač

Niekoľko častí, ako je uvoľňovací mechanizmus a riadiaca skrinka, bolo vyrobených pomocou 3D tlačiarne. Nasledujúci zoznam obsahuje celkový počet dielov a ich špecifikácie pre tlač. Všetky súbory STL sú k dispozícii v priečinku umiestnenom vyššie, čo umožňuje v prípade potreby vykonať potrebné úpravy.

Ovládací box x 1, 20% výplň

Vodítko x 6, 30% výplň

Koncová zarážka x 1, 20% výplň

Otočné rameno x 1, 20% výplň

Otočný držiak x 1, 30% výplň

Uvoľňovací kus x 1, 20% výplň

Diely boli vytlačené v PLA, pretože na kusy nepôsobí žiadne zvláštne napätie. Celkovo to trvalo asi 40 hodín tlače.

Krok 6: Laserové rezanie ciest

Rôzne cesty, ktoré sme navrhli na fusion 360, boli exportované ako súbory.dxf a potom vyrezané laserom. Na vytvorenie kriviek sme vybrali nepriehľadný biely akryl s hrúbkou 3 mm. Z dreva sa dá dokonca vyrobiť aj ručným náradím, ale je dôležité zabezpečiť, aby bol zvolený materiál tuhý, pretože flexibilita môže mať vplyv na to, ako sa guličky kotúľajú.

6 x Brachistochrone Curve

2 x strmá krivka

2 x priama krivka

Krok 7: Rezanie dreva

Rám modelu je vyrobený z dreva. Vybrali sme borovicu 1 x 4 palce, pretože nám zostali niektoré z predchádzajúceho projektu, aj keď je možné použiť drevo podľa vlastného výberu. Pomocou kotúčovej píly a vodítka nakrájame dva kusy dreva o dĺžke:

48 cm, čo je dĺžka cesta

31 cm, čo je výška

Hrubé hrany sme vyčistili ľahkým brúsením na kotúčovej brúske.

Krok 8: Vŕtanie dier

Pred priskrutkovaním dvoch kusov k sebe označte hrúbku dreva na jednom konci spodného dielu a vycentrujte tri rovnako vzdialené otvory. Na oba kusy dreva sme pomocou 5 mm bitu vytvorili pilotný otvor a zapustili otvor v spodnom diele, aby bolo možné hlavu skrutky zapustiť do jednej roviny.

Poznámka: Dávajte pozor, aby ste vertikálny kus dreva neštiepili, pretože sa bude vŕtať do koncového zrna. Používajte aj dlhé skrutky do dreva, pretože je dôležité, aby sa rám kvôli pákovému mechanizmu netriasol a aby nebol horný.

Krok 9: Vloženie chladičov a magnetov

Pretože vlákna v 3D tlačených častiach majú tendenciu sa časom opotrebovať, rozhodli sme sa vložiť chladiče. Otvory sú mierne poddimenzované, aby chladič lepšie priľnul k plastu. Na otvory sme umiestnili chladiče M3 a zasunuli ich hrotom spájkovačky. Teplo roztaví plast a zuby sa môžu klinovať dovnútra. Uistite sa, že sú v jednej rovine s povrchom a zasahujú kolmo. Celkovo je pre závitové vložky 8 miest: 4 pre veko a 4 pre montáž Arduino Uno.

Aby sme uľahčili montáž časovacej jednotky, vložili sme do škatule magnety, čo uľahčuje odpojenie, ak sú niekedy potrebné zmeny. Magnety sa musia pred zatlačením na miesto orientovať rovnakým smerom.s

Krok 10: Pripojenie koncových spínačov

Tri koncové spínače sú pripevnené k jednej strane časovacej jednotky, ktorá je obrátená k spodnej časti dráh. Klikaním gombíkov na loptičkách teda môžete určiť, ktorá loptička sa dostala ako prvá, a načasovať zobrazenie na LCD displeji. Spájkujte malé prúžky drôtu na svorky a zaistite ich v štrbinách kusom CA lepidla, pretože by sa nemali uvoľňovať ani po nepretržitom klepaní.

Krok 11: LCD displej

Veko rozvodovej jednotky má obdĺžnikový výrez pre obrazovku LCD a otvor pre tlačidlo „štart“. Displej sme zaistili kvapkami horúceho lepidla, až kým nebol v jednej rovine s povrchom veka, a červené tlačidlo sme upevnili montážnou maticou.

Krok 12: Zapojenie elektroniky

Zapojenie pozostáva z prepojenia rôznych komponentov do správnych kolíkov na Arduine. Pri inštalácii krabice postupujte podľa schémy zapojenia uvedenej vyššie.

Krok 13: Odovzdanie kódu

Kód Arduino pre projekt brachistochrone nájdete v prílohe nižšie. V priehradke na elektroniku sú dva otvory pre ľahký prístup k programovaciemu portu Arduino a k napájaciemu konektoru.

Na spustenie časovača slúži červené tlačidlo, ktoré je pripevnené v hornej časti škatule. Akonáhle sa guličky valia po krivkách a spúšťajú koncové spínače, ktoré sú umiestnené v spodnej časti, časovanie sa postupne zaznamenáva. Po zasiahnutí všetkých troch loptičiek sa na LCD displeji zobrazia výsledky zarovnané s príslušnými krivkami (obrázky priložené vyššie). Akonáhle si všimnete výsledky v prípade, že je potrebné druhé čítanie, jednoduchým stlačením hlavného tlačidla obnovíte časovač a zopakujete rovnaký postup.

Krok 14: Sprievodcovia 3D tlačou

Vodidlá, ktoré boli vytlačené 3D, mali pred spustením nosných stien 3 mm základňu materiálu. Preto keď by boli akrylové panely zasunuté na svoje miesto, medzi panelom a dreveným rámom by bola medzera, ktorá by znižovala stabilitu cesty.

Preto bolo potrebné sprievodcu zapustiť do dreva o 3 mm. Keďže sme nemali router, zobrali sme ho do miestnej dielne a urobili sme to na frézke. Po troche brúsenia výtlačky dobre priliehali a mohli sme ho zaistiť bočnými skrutkami do dreva. Hore je pripojená šablóna na umiestnenie 6 vodítok na drevený rám.

Krok 15: Pridanie zátky a časovacej jednotky

Pretože časový modul bol samostatným systémom, rozhodli sme sa vytvoriť systém rýchlej montáže a demontáže pomocou magnetov. Týmto spôsobom je možné ľahko naprogramovať jednoducho vytiahnutie jednotky. Namiesto toho, aby sme vytvorili šablónu na prenos polohy magnetov, ktoré je potrebné vložiť do dreva, jednoducho ich necháme spojiť s tými, ktoré sú na škatuli, a potom nalejeme trochu lepidla a krabicu položíme na kus dreva. Značky lepidla sa preniesli do dreva, čo nám umožnilo rýchlo vyvŕtať otvory na presných miestach. Nakoniec pripevnite 3D tlačenú zátku a rozvodová jednotka by mala tesne priliehať, ale mohla by sa dať odpojiť miernym potiahnutím

Krok 16: Mechanizmus uvoľnenia

Uvoľňovací mechanizmus je jednoduchý. Pomocou matice a skrutky pevne spojte sekciu C s otočným ramenom a urobte z nich jeden bezpečný kus. Potom vyvŕtajte dva otvory v strede zvislého dreva a pripevnite držiak. Nasuňte otočný hriadeľ a mechanizmus je kompletný.

Krok 17: Experiment

Teraz, keď je model pripravený, môžete vykonať nasledujúce experimenty

Experiment 1

Opatrne zasuňte akrylové panely rovnej cesty, brachistochrónnej krivky a strmej cesty (v tomto poradí pre najlepší efekt). Potom vytiahnite západku hore a umiestnite tri loptičky na vrch krivky tak, aby boli perfektne zarovnané. Držte ich pevne na mieste so západkou nadol. Nechajte jedného študenta uvoľniť loptičky a druhého stlačením červeného tlačidla spustiť systém načasovania. Nakoniec pozorujte guľôčky, ako sa valia po ceste, a analyzujte výsledky zobrazené na časovacom module. Nastavenie kamery na záznam spomalených záberov je ešte vzrušujúcejšie, pretože je možné sledovať preteky snímok za snímkom.

Experiment 2

Rovnako ako predchádzajúci experiment nasuňte akrylové panely, ale tentoraz musia byť všetky cesty krivkou brachistonchrone. Opatrne požiadajte študenta, aby tentokrát držal tri loptičky v rôznych nadmorských výškach a pri uvoľňovaní loptičiek stlačte červené tlačidlo. Sledujte úžasný moment, ako sa loptičky perfektne zoradia pred cieľovou čiarou, a pozorovania potvrďte výsledkami.

Krok 18: Záver

Výroba modelu brachistochrone je praktický spôsob, ako vidieť magické spôsoby, akými veda funguje. Experimenty sú nielen zábavné a pútavé, ale ponúkajú aj syntézu učebných aspektov. Aj keď je to predovšetkým projekt, ktorý je prakticky aj teoreticky určený stredoškolákom, túto ukážku môžu ľahko pochopiť menšie deti a môže byť zobrazený ako zjednodušená prezentácia.

Radi by sme povzbudili ľudí, aby robili veci, či už ide o úspech alebo neúspech, pretože na konci dňa je STEM vždy zábavou! Šťastnú výrobu!

Ak sa vám páčia pokyny, dajte hlas v triednej súťaži a zanechajte svoju spätnú väzbu v sekcii komentárov.

Veľká cena v triednej prírodovednej súťaži