Gaussian a Parabola na štúdium svetelných tokov LED experimentálnej žiarovky: 6 krokov

2024 Autor: John Day | [email protected]. Naposledy zmenené: 2024-01-30 11:55

Zdravím všetkých tvorcov a rušnú komunitu Instructable.

Merenel Research vám tentokrát prinesie čistý výskumný problém a spôsob, ako ho vyriešiť matematikou.

Sám som mal tento problém, keď som počítal toky LED diódy RGB LED, ktorú som postavil (a ktorú naučím stavať). Po rozsiahlom online hľadaní som nenašiel odpoveď, a tak prinášam riešenie.

PROBLÉM

Vo fyzike sa veľmi často musíme zaoberať krivkami, ktoré majú tvar Gaussovho rozdelenia. Áno! Je to krivka v tvare zvonu, ktorá sa používa na výpočet pravdepodobnosti a bola k nám prinesená veľkým matematikom Gaussom.

Gaussova krivka sa široko používa vo fyzických aplikáciách v reálnom živote, najmä keď sa musíme zaoberať žiarením šíreným zo zdroja alebo prijatým z prijímača, napríklad:

- vyžarovanie výkonu rádiového signálu (napr. Wi-Fi);

- svetelný tok vyžarovaný LED diódou;

- čítanie fotodiódy.

V technickom liste výrobcu je často uvedená skutočná hodnota oblasti Gaussovho telesa, ktorá by bola celkovým vyžarovacím výkonom alebo svetelným tokom v určitej časti spektra (napr. Diódy LED), ale je ťažké vypočítať skutočné žiarenie. vyžarované na vrchole krivky alebo ešte ťažšie poznateľné prekrývajúce sa žiarenie dvoch blízkych zdrojov, napríklad ak osvetľujeme viac ako LED (napr. modrá a zelená).

V tomto inštruktážnom príspevku vám vysvetlím, ako aproximovať gaussovsky krivku tak, aby bola jednoduchšie uchopiteľná: parabola. Odpoviem na otázku: koľko gaussovských kriviek je v parabole?

SPOILER → ODPOVEĎ JE:

Gaussova oblasť je vždy 1 jednotka.

Plocha zodpovedajúcej paraboly s rovnakou základňou a výškou je 2,13 krát väčšia ako relatívna gaussovská oblasť (grafické znázornenie nájdete na obrázku).

Gaussián je teda 46,94% svojej paraboly a tento vzťah je vždy pravdivý.

Tieto dve čísla spolu súvisia 0,46948 = 1/2,13, toto je presný matematický vzťah medzi Gaussovou krivkou a jej parabolou a naopak.

V tejto príručke vás prevediem krok za krokom, aby ste to objavili.

Jediný nástroj, ktorý budeme potrebovať, je Geogebra.org, vynikajúci online matematický nástroj na kreslenie grafov.

Graf Geogebra, ktorý som urobil na porovnanie paraboly s Gaussovom, nájdete na tomto odkaze.

Tento návod je dlhý, pretože je o ukážke, ale ak musíte rýchlo vyriešiť ten istý problém, ktorý som mal s LED svetelnými tokmi, alebo iný jav s prekrývajúcimi sa Gaussovými krivkami, jednoducho skočte na tabuľku, ktorú nájdete v kroku pripojenú 5 tejto príručky, ktorý vám uľahčí život a automaticky za vás urobí všetky výpočty.

Dúfam, že sa vám páči aplikovaná matematika, pretože tento návod je o tom.

Krok 1: Pochopenie svetla vyžarovaného z monochromatickej diódy LED

V tejto analýze zvážim sériu farebných LED, ako je zrejmé z ich spektrálnej tabuľky (prvý obrázok), ich spektrálna distribúcia energie skutočne vyzerá ako Gaussova, ktorá sa zbieha do osi x pri -33 a +33 nm priemeru (výrobcovia zvyčajne dáva túto špecifikáciu). Myslite však na to, že znázornenie tohto grafu normalizuje všetky spektrá na jednej napájacej jednotke, ale diódy LED majú rôzny výkon podľa toho, ako efektívne sa vyrábajú a koľko elektrického prúdu (mA) do nich privádzate.

Ako vidíte, niekedy sa svetelný tok dvoch LED diód prekrýva v spektre. Povedzme, že chcem ľahko vypočítať prekrývajúcu sa oblasť týchto kriviek, pretože v tejto oblasti bude dvojnásobné množstvo energie a chcem vedieť, koľko energie v temenoch lúmenu (lm) tam máme, no nie je to tak. jednoduchá úloha, na ktorú sa pokúsime zodpovedať v tejto príručke. Problém nastal, pretože keď som staval experimentálnu lampu, naozaj som chcel vedieť, ako veľmi sa modré a zelené spektrum prekrývajú.

Zameriame sa iba na monochromatické LED diódy, ktoré vyžarujú v úzkej časti spektra. V grafe: KRÁĽOVO MODRÁ, MODRÁ, ZELENÁ, ORANŽOVO-ČERVENÁ, ČERVENÁ. (Skutočná lampa, ktorú vyrobím, je RGB)

FYZICKÉ POZADIE

Poďme sa trochu previnúť a urobme najskôr vysvetlenie z fyziky.

Každá LED dióda má farbu, alebo vedecky by sme povedali, že má vlnovú dĺžku (λ), ktorá ju určuje a ktorá sa meria v nanometroch (nm) a λ = 1/f, kde f je frekvencia oscilácie fotónu.

To, čo nazývame ČERVENÉ, je v zásade (skvelá) kopa fotónov, ktoré oscilujú pri 630 nm, tieto fotóny zasiahnu hmotu a odrazia sa nám do očí, ktoré pôsobia ako receptory, a potom váš mozog spracuje farbu objektu ako ČERVENÚ; alebo by vám fotóny mohli ísť priamo do očí a videli by ste LED, ktorá ich vyžaruje, svietiť ČERVENOU farbou.

Zistilo sa, že to, čo nazývame svetlom, je v skutočnosti len malá časť elektromagnetického spektra, medzi 380 nm a 740 nm; svetlo je teda elektromagnetická vlna. Na tejto časti spektra je zvláštne, že je to práve ten úsek spektra, ktorý ľahšie prechádza vodou. Hádaj čo? Naši starodávni predkovia z prapôvodnej polievky boli skutočne vo vode a vo vode sa u prvých, zložitejších, živých bytostí začali vyvíjať oči. Odporúčame vám pozrieť si video od Kurzgesagta, ktoré som pripojil, aby ste lepšie porozumeli tomu, čo je svetlo.

Ak to zhrnieme, LED vyžaruje svetlo, čo je určité množstvo rádiometrického výkonu (mW) pri určitej vlnovej dĺžke (nm).

Obvykle, keď máme do činenia s viditeľným svetlom, nehovoríme o rádiometrickom výkone (mW), ale o svetelnom toku (lm), čo je merná jednotka vážená pri reakcii na viditeľné svetlo očí ľudí, pochádza z kandela, meraná v lúmenoch (lm). V tejto prezentácii sa budeme zaoberať lúmenmi vyžarovanými z LED diód, ale všetko bude platiť pre mW presne v rovnakom rozsahu.

V každom technickom liste LED vám výrobca poskytne tieto informácie:

Napríklad z tohto priloženého datasheetu vidíte, že ak napájate obe diódy 100mA, máte toto:

MODRÁ má 480 nm a má 11 lm svetelný tok;

ZELENÁ má 530 nm a svetelný tok 35 lm.

To znamená, že Gaussova krivka modrej bude vyššia, bude sa zvyšovať viac, bez zmeny jej šírky a bude oscilovať okolo časti ohraničenej modrou čiarou. V tomto príspevku vysvetlím, ako vypočítať výšku Gaussova, ktorá vyjadruje plný špičkový výkon vyžarovaný diódou LED, nielen výkon vyžarovaný v tejto časti spektra, bohužiaľ, táto hodnota bude nižšia. Ďalej sa pokúsim priblížiť prekrývajúcu sa časť dvoch diód LED, aby som pochopil, koľko svetelného toku sa prekrýva, keď máme do činenia s diódami LED, ktoré sú v spektre „susedmi“.

Meranie toku diód LED je veľmi komplexná záležitosť, ak sa chcete dozvedieť viac, predložil som podrobný dokument od spoločnosti Osram, ktorý vysvetľuje, ako sa veci robia.

Krok 2: Úvod do paraboly

Nebudem sa veľmi rozpisovať o tom, čo je parabola, pretože je v škole podrobne študovaná.

Rovnica paraboly môže byť napísaná v nasledujúcom tvare:

y = os^2+bx+c

ARCHIMEDES NÁM POMÁHA

To, čo by som chcel zdôrazniť, je dôležitá geometrická veta od Archimeda. Veta hovorí, že plocha paraboly obmedzenej na obdĺžnik sa rovná 2/3 plochy obdĺžnika. Na prvom obrázku s parabolou vidíte, že modrá plocha je 2/3 a ružové oblasti sú 1/3 plochy obdĺžnika.

Parabolu a jej rovnicu môžeme vypočítať tak, že poznáme tri body paraboly. V našom prípade vypočítame vrchol a poznáme priesečníky s osou x. Napríklad:

MODRÝ LED vrchol (480,?) Y vrcholu sa rovná svetelnému výkonu vyžarovanému pri špičkovej vlnovej dĺžke. Na jeho výpočet použijeme vzťah, ktorý existuje medzi plochou Gaussova (skutočný tok vyžarovaný diódou LED) a oblasťou paraboly a pomocou Archimedovej vety poznáme výšku obdĺžnika, ktorý obsahuje túto parabolu.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

PARABOLICKÝ MODEL

Pri pohľade na obrázok, ktorý som nahral, môžete vidieť komplexný model, ktorý pomocou paraboly predstavuje niekoľko rôznych svetelných tokov LED, ale vieme, že ich znázornenie nie je presne také, pretože pripomína skôr Gaussov.

Pri parabolách však pomocou matematických vzorcov nájdeme všetky body priesečníka niekoľkých paraboiel a vypočítame ich pretínajúce sa plochy.

V kroku 5 som pripojil tabuľku, do ktorej som vložil všetky vzorce na výpočet všetkých paraboiel a ich pretínajúcich sa oblastí monochromatických diód LED.

Gaussova základňa LED je zvyčajne veľká 66 nm, takže ak poznáme dominantnú vlnovú dĺžku a aproximujeme žiarenie LED parabolou, vieme, že relatívna parabola bude pretínať os x v λ+33 a λ-33.

Jedná sa o model, ktorý približuje celkové vyžarované svetlo LED s parabolou. Ale vieme, že ak chceme byť presní, nie je to úplne správne, museli by sme použiť Gaussove krivky, ktoré nás privádzajú k ďalšiemu kroku.

Krok 3: Úvod do Gaussovej krivky

Gaussova je krivka, ktorá bude znieť zložitejšie ako parabola. Vymyslel ho Gauss na interpretáciu chýb. V skutočnosti je táto krivka veľmi užitočná na zobrazenie pravdepodobnostného rozloženia javu. Pokiaľ sa pohybujeme smerom doľava alebo doprava od priemeru, máme určitý jav menej častý a ako vidíte z posledného obrázku, táto krivka je veľmi dobrou aproximáciou udalostí v reálnom živote.

Gaussov vzorec je strašidelný a vidíte ho ako druhý obrázok.

Gaussovské vlastnosti sú:

- je symetrický vzhľadom na priemer;

- x = μ sa zhoduje nielen s aritmetickým priemerom, ale aj s mediánom a režimom;

- je asymptotický na osi x na každej strane;

- klesá o xμ;

- má dva inflexné body v x = μ-σ;

- plocha pod krivkou je 1 jednotka (je to pravdepodobnosť, ktorú by overilo akékoľvek x)

σ je štandardná odchýlka, čím väčšie je číslo, tým širšia je Gaussova základňa (prvý obrázok). Ak je hodnota v časti 3σ, vedeli by sme, že sa skutočne pohybuje od priemeru a je menšia pravdepodobnosť, že sa to stane.

V našom prípade s LED diódami poznáme oblasť Gaussovho žiarenia, ktorá je svetelným tokom uvedeným v technickom liste výrobcu pri danom vrchole vlnovej dĺžky (čo je priemer).

Krok 4: Ukážka s Geogebrou

V tejto časti vám poradím, ako pomocou Geogebry dokázať, že parabola je 2,19 -krát väčšia ako Gaussova.

Najprv musíte vytvoriť niekoľko premenných kliknutím na príkaz posúvača:

Štandardná odchýlka σ = 0,1 (štandardná odchýlka definuje, ako široká je Gaussova krivka, vložil som malú hodnotu, pretože som ju chcel zúžiť na simuláciu spektrálneho rozloženia energie LED)

Priemer je 0, takže Gaussov je postavený na osi y, kde sa ľahšie pracuje.

Kliknutím na funkciu malých vĺn aktivujete funkčnú časť; tam kliknutím na fx môžete vložiť Gaussov vzorec a uvidíte, že na obrazovke vyskočí pekná vysoká Gaussova krivka.

Graficky uvidíte, kde sa krivka zbieha na osi x, v mojom prípade v X1 (-0,4; 0) a X2 (+0,4; 0) a kde je vrchol vo V (0; 4).

S týmto trom bodom máte dostatok informácií na nájdenie rovnice paraboly. Ak nechcete počítať ručne, v nasledujúcom kroku použite tento web alebo tabuľku.

Pomocou príkazu funkcie (fx) vyplňte funkciu paraboly, ktorú ste práve našli:

y = -25x^2 +4

Teraz musíme pochopiť, koľko Gaussovcov je v parabole.

Budete musieť použiť príkaz function a vložiť príkaz Integral (alebo Integrale v mojom prípade, ako som používal taliansku verziu). Definitívny integrál je matematická operácia, ktorá nám umožňuje vypočítať plochu funkcie definovanej medzi hodnotami x. Ak si nepamätáte, čo je to určitý integrál, čítajte tu.

a = integrál (f, -0,4, +0,4)

Tento vzorec Geogebra vyrieši definovaný integrál medzi -0,4 a +0,4 funkcie f, Gaussova. Keď máme do činenia s Gaussom, jeho plocha je 1.

To isté urobte s parabolou a objavíte magické číslo 2.13. Čo je kľúčové číslo na vykonanie všetkých konverzií svetelného toku pomocou diód LED.

Krok 5: Príklad zo skutočného života s diódami LED: Výpočet vrcholu toku a prekrývajúcich sa tokov

SVETELNÝ FLUX NA PEAKU

Vypočítať skutočnú výšku miešaných Gaussových kriviek distribúcie toku LED diód, teraz, keď sme objavili konverzný faktor 2,19, je veľmi jednoduché.

napríklad:

MODRÁ LED má 11 lm svetelný tok

- tento tok prevedieme z Gaussova na parabolický 11 x 2,19 = 24,09

- pomocou Archimedovej vety vypočítame relatívnu plochu obdĺžnika, ktorá obsahuje parabolu 24,09 x 3/2 = 36,14

- nájdeme výšku tohto obdĺžnika deliaceho pre základňu Gaussovej pre MODRÚ LED diódu, uvedenú v technickom liste alebo viditeľnú v tabuľke s technickými údajmi, zvyčajne okolo 66 nm, a to je naša sila na vrchole 480 nm: 36,14 / 66 = 0,55

PREPLÝVAJÚCE SVIETIDLOVÉ PLOCHY

Na výpočet dvoch prekrývajúcich sa žiarení vysvetlím na príklade s nasledujúcimi dvoma diódami LED:

MODRÁ má 480 nm a 11 lm svetelný tok ZELENÁ má 530 nm a má 35 lm svetelný tok

Vieme a z grafu vidíme, že obe gaussovské krivky sa zbiehajú v -33nm a +33nm, následne vieme, že:

- MODRÁ pretína os x v 447 nm a 531 nm

- ZELENÁ pretína os x v 497 nm a 563 nm

Jasne vidíme, že tieto dve krivky sa pretínajú, pretože jeden koniec prvého je za začiatkom druhého (531 nm> 497 nm), takže svetlo týchto dvoch diód LED sa v niektorých bodoch prekrýva.

Najprv musíme pre obidve vypočítať rovnicu paraboly. Priložená tabuľka vám pomôže s výpočtami a vložila vzorce na vyriešenie systému rovníc na určenie dvoch paraboiel, ktoré poznajú priesečníky osi x a vrchol:

MODRÁ parabola: y = -0,0004889636025x^2 + 0,4694050584x -112.1247327

ZELENÁ parabola: y = -0,001555793281x^2 + 1,680256743x - 451,9750618

v oboch prípadoch a> 0 a, takže parabola správne smeruje hore nohami.

Aby ste dokázali, že tieto paraboly sú správne, vyplňte a, b, c v kalkulačke vrcholov na tejto webovej stránke kalkulačky paraboly.

V tabuľke sú už všetky počty určené na nájdenie priesečníkov medzi parabolami a na výpočet určitého integrálu na získanie priesečníkov oblastí týchto paraboiel.

V našom prípade je pretínajúcich sa oblastí modrého a zeleného spektra LED 0,4247.

Hneď ako máme pretínajúce sa paraboly, môžeme túto novo založenú priesečníku vynásobiť pre Gaussov multiplikátor 0,4694 a nájsť veľmi blízku aproximáciu toho, koľko energie LED diódy celkovo vyžarujú v danej časti spektra. Ak chcete nájsť jediný tok LED emitovaný v tejto sekcii, delte ho 2.

Krok 6: Štúdia monochromatických LED diód experimentálnej žiarovky je teraz dokončená

Ďakujem vám veľmi pekne za prečítanie tohto výskumu. Dúfam, že vám bude užitočné hlbšie porozumieť tomu, ako svetlo vyžaruje lampa.

Študoval som toky LED diód špeciálnej žiarovky vyrobenej z troch typov monochromatických LED diód.

„Prísady“na výrobu tejto žiarovky sú:

- 3 LED BLU

- 4 LED ZELENÉ

- 3 LED ČERVENÉ

- 3 odpory na obmedzenie prúdu vo vetvách obvodu LED

- Napájanie 12V 35W

- Reliéfny akrylový kryt

- Ovládanie OSRAM OT BLE DIM (riadiaca jednotka Bluetooth LED)

- Hliníkový chladič

- Skrutky a matice M5 a konzoly L.

Ovládajte všetko pomocou aplikácie Casambi APP zo svojho smartfónu, každý LED kanál môžete zapnúť a stlmiť samostatne.

Postavenie žiarovky je veľmi jednoduché:

- pripevnite LED k chladiču obojstrannou páskou;

- spájajte všetky BLU LED do série s odporom a urobte to isté s druhou farbou pre každú vetvu obvodu. Podľa LED, ktoré si vyberiete (použil som Lumileds LED), budete musieť zvoliť veľkosť rezistora v závislosti od toho, koľko prúdu budete napájať do LED a k celkovému napätiu danému napájacím zdrojom 12V. Ak neviete, ako to urobiť, odporúčam vám prečítať si tento skvelý návod, ako určiť veľkosť rezistora na obmedzenie prúdu série LED diód.

-zapojte vodiče do každého kanála Osram OT BLE: všetky hlavné kladné vetvy LED diód idú na spoločné (+) a tri záporné vetvy na príslušne -B (modrá) -G (zelená) -R (červená).

- Pripojte napájací zdroj k vstupu Osram OT BLE.

Na Osram OT BLE je teraz skvelé to, že môžete vytvárať scenáre a programovať kanály LED, ako vidíte v prvej časti videa stlmujem tri kanály a v druhej časti videa niektoré používam. vopred pripravené svetelné scenáre.

ZÁVERY

Matematiku som široko používal na hlboké pochopenie toho, ako sa toky týchto žiaroviek šíria.

Naozaj dúfam, že ste sa dnes naučili niečo užitočné a urobím všetko pre to, aby som poučil o ďalších prípadoch hlbokého aplikovaného výskumu, akým je tento.

Výskum je kľúčom!

Tak dlho!

Pietro